Algèbre, analyse et arithmétique des nombres entiers

Si l?algèbre est la branche des mathématiques consacrée à l?étude des ensembles structurés à partir d?opérations élémentaires (addition, multiplication, multiplication scalaire?), l?arithmétique est celle qui se préoccupe de la connaissance la plus approfondie possible des nombres entiers c?est-à-dire de l?anneau qu?ils constituent.
La difficulté des problèmes soulevés par diverses questions concernant les nombres entiers requiert tout à la fois une approche algébrique et arithmétique de ces problèmes parfois même insuffisante puisque, aussi paradoxal que cela puisse paraître, la répartition des nombres premiers est intimement liée à l?analyse via la fonction zêta de Riemann.
C?est la raison pour laquelle cet ouvrage présente une réflexion assez détaillée concernant l?algèbre, l?analyse et l?arithmétique qu?il est possible d?exposer à des élèves de Spéciales curieux d?en savoir un peu plus que le programme l?exige, mais aussi à des candidats aux concours du Capes ou de l?Agrégation qui pourront y trouver matière à des leçons d?oral, l?ensemble étant articulé autour des cinq chapitres suivants :
- Chap. 1 : Algèbre des anneaux euclidiens ; cas particulier des entiers,
- Chap. 2 : Algèbre et arithmétique associées à l?anneau des entiers et à ses quotients algébriques ; loi de réciprocité quadratique,
- Chap. 3 : Les entiers cyclotomiques,
- Chap. 4 : Tests de primalité et algorithmes de factorisation primaire,
- Chap. 5 : Fonctions arithmétiques usuelles ; nombres de Fermat, Mersenne, Carmichael, Chernick, Knodel, Cunningham, Sierpinski?, nombres parfaits et théorème d?Euler ; théorème des quatre carrés de Lagrange et conjectures arithmétiques célèbres à savoir celles de Goldbach, Dickson, Polignac, Giuga, Riemann, Ore, ? et celles concernant les nombres premiers jumeaux ainsi que les premiers de Sophie Germain qui ne sont que des cas particuliers de celle de Dickson.


Introduction
Chapitre 1 - Rappels fondamentaux concernant les anneaux commutatifs
principaux et intègres et les anneaux euclidiens - Cas particulier de Z
Chapitre 2 - Algèbre et arithmétique associées aux anneaux Z et Z/n
Chapitre 3 - Les entiers cyclotomiques
Chapitre 4 - Tests de primalité et algorithmes de factorisation primaire pour les entiers
Chapitre 5 - Fonctions arithmétiques usuelles ; nombres de Fermat, Mersenne, Carmichael... ; théorème des quatre carrés de Lagrange et conjectures arithmétiques...

- Introduction
- Chapitre 1 - Rappels fondamentaux concernant les anneaux commutatifs principaux et intègres et les anneaux euclidiens - Cas particulier de Z
- Chapitre 2 - Algèbre et arithmétique associées aux anneaux Z et Z/n
- Chapitre 3 - Les entiers cyclotomiques
- Chapitre 4 - Tests de primalité et algorithmes de factorisation primaire pour les entiers
- Chapitre 5 - Fonctions arithmétiques usuelles ; nombres de Fermat, Mersenne, Carmichael... ; théorème des quatre carrés de Lagrange et conjectures arithmétiques...
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