Grundkurs Funktionalanalysis (2° Éd., 2. Aufl. 2018)
Auteur : Kaballo Winfried
In diesem Buch finden Sie die Grundlagen der Funktionalanalysis, die im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts entwickelt wurden.
Ausgehend von konkreten Fragen der Analysis lernen Sie Methoden zur Untersuchung linearer Operatoren zwischen Hilberträumen und Banachräumen kennen und wenden diese auf Fourier-Reihen, lineare Integral- und Differentialgleichungen und in der Quantenmechanik an.
Das Buch eignet sich hervorragend als Begleitlektüre zu einer einführenden Vorlesung über Funktionalanalysis und auch zum Selbststudium..
Es ist sehr ausführlich und leicht verständlich geschrieben, die Konzepte und Resultate werden durch zahlreiche Beispiele und Abbildungen illustriert. Anhand vieler Übungsaufgaben können Sie Ihr Verständnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln. Lösungen finden Sie auf der Webseite zum Buch zum Buch unter www.springer.de.
An Vorkenntnissen benötigen Sie nur "Analysis I", Grundlagen der Linearen Algebra und der Topologie metrischer Räume sowie Vertrautheit mit Lebesgue-Integralen. Bei Bedarf können Sie viele dieser Vorkenntnisse mittels des ausführlichen Anhangs auffrischen.
Einleitung
Teil I: Banachräume und lineare Operatoren
1 Banachräume
1.1 Normen und Metriken
1.2 Supremums-Normen
1.3 Lp -Normen und Quotientenräume
1.4 Aufgaben
2 Kompakte Mengen
2.1 Der Satz von Arzelà-Ascoli
2.2 Separable Räume und ein Approximationssatz
2.3 Hölder- und Sobolev-Normen
2.4 Aufgaben
3 Lineare Operatoren
3.1 Operatornormen
3.2 Isomorphien und Fortsetzungen
3.3 Lineare Operatoren auf endlichdimensionalen Räumen
3.4 Lineare Integral- und Differentialoperatoren
3.5 Aufgaben
4 Kleine Störungen
4.1 Banachalgebren und Neumannsche Reihe
4.2 Lineare Integralgleichungen
4.3 Grundlagen der Spektraltheorie
4.4 Der Banachsche Fixpunktsatz
4.5 Nichtlineare Integralgleichungen
4.6 Der Satz von Picard-Lindelöf
4.7 Aufgaben
Teil II: Fourier-Reihen und Hilberträume
5 Fourier-Reihen und Approximationssätze
5.1 Der Satz von Fejér
5.2 Faltung und Dirac-Folgen
5.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz
5.4 Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume
5.5 Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen
5.6 Aufgaben
6 Hilberträume
6.1 Die Parsevalsche Gleichung
6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten
6.3 Aufgaben
7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen
7.1 Lineare Operatoren und Matrizen
7.2 Orthogonale Projektionen
7.3 Adjungierte Operatoren
7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren
7.5 Aufgaben
Teil III: Prinzipien der Funktionalanalysis
8 Konsequenzen der Vollständigkeit
8.1 Der Satz von Baire
8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit
8.3 Der Satz von der offenen Abbildung
8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen
8.5 Aufgaben9 Stetige lineare Funktionale
9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach
9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren
9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume
9.4 Beispiele von Dualräumen
9.5 Stetige Projektionen
9.6 Aufgaben
10 Schwache Konvergenz
10.1 Variationsprobleme
10.2 Trennung konvexer Mengen
10.3 Uniform konvexe Räume
10.4 Schwach konvergente Folgen
10.5 Schwach konvergente Teilfolgen
10.6 Aufgaben
Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren
11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen
11.1 Kompakte lineare Operatoren
11.2 Fredholmoperatoren
11.3 Stabilität des Index
11.4 Spektren kompakter Operatoren
11.5 Aufgaben
12 Spektralzerlegungen
12.1 Modelle kompakter Operatoren
12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren
12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren
12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen
12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren
12.6 Aufgaben
13 Unbeschränkte Operatoren
13.1 Abgeschlossene Operatoren
13.2 Adjungierte Operatoren
13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren
13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme
13.5 Evolutionsgleichungen
13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik
13.7 Aufgaben
A Anhang
A.1 Lineare Algebra
A.2 Metrische Räume und Kompaktheit
A.3 Maße und Integrale
A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale
A.3.2 Konvergenzsätze
A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen
A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli
A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz
Literaturverzeichnis Index
1 Banachräume
1.1 Normen und Metriken
1.2 Supremums-Normen
1.3 Lp -Normen und Quotientenräume
1.4 Aufgaben
2 Kompakte Mengen
2.1 Der Satz von Arzelà-Ascoli
2.2 Separable Räume und ein Approximationssatz
2.3 Hölder- und Sobolev-Normen
2.4 Aufgaben
3 Lineare Operatoren
3.1 Operatornormen
3.2 Isomorphien und Fortsetzungen
3.3 Lineare Operatoren auf endlichdimensionalen Räumen
3.4 Lineare Integral- und Differentialoperatoren
3.5 Aufgaben
4 Kleine Störungen
4.1 Banachalgebren und Neumannsche Reihe
4.2 Lineare Integralgleichungen
4.3 Grundlagen der Spektraltheorie
4.4 Der Banachsche Fixpunktsatz
4.5 Nichtlineare Integralgleichungen
4.6 Der Satz von Picard-Lindelöf
4.7 Aufgaben
Teil II: Fourier-Reihen und Hilberträume
5 Fourier-Reihen und Approximationssätze
5.1 Der Satz von Fejér
5.2 Faltung und Dirac-Folgen
5.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz
5.4 Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume
5.5 Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen
5.6 Aufgaben
6 Hilberträume
6.1 Die Parsevalsche Gleichung
6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten
6.3 Aufgaben
7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen
7.1 Lineare Operatoren und Matrizen
7.2 Orthogonale Projektionen
7.3 Adjungierte Operatoren
7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren
7.5 Aufgaben
Teil III: Prinzipien der Funktionalanalysis
8 Konsequenzen der Vollständigkeit
8.1 Der Satz von Baire
8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit
8.3 Der Satz von der offenen Abbildung
8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen
8.5 Aufgaben
9 Stetige lineare Funktionale
9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach
9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren
9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume
9.4 Beispiele von Dualräumen
9.5 Stetige Projektionen
9.6 Aufgaben
10 Schwache Konvergenz
10.1 Variationsprobleme
10.2 Trennung konvexer Mengen
10.3 Uniform konvexe Räume
10.4 Schwach konvergente Folgen
10.5 Schwach konvergente Teilfolgen
10.6 Aufgaben
Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren
11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen
11.1 Kompakte lineare Operatoren
11.2 Fredholmoperatoren
11.3 Stabilität des Index
11.4 Spektren kompakter Operatoren
11.5 Aufgaben
12 Spektralzerlegungen
12.1 Modelle kompakter Operatoren
12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren
12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren
12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen
12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren
12.6 Aufgaben
13 Unbeschränkte Operatoren
13.1 Abgeschlossene Operatoren
13.2 Adjungierte Operatoren
13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren
13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme
13.5 Evolutionsgleichungen
13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik
13.7 Aufgaben
A Anhang
A.1 Lineare Algebra
A.2 Metrische Räume und Kompaktheit
A.3 Maße und Integrale
A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale
A.3.2 Konvergenzsätze
A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen
A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli
A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz
Literaturverzeichnis Index
5 Fourier-Reihen und Approximationssätze5.1 Der Satz von Fejér
5.2 Faltung und Dirac-Folgen
5.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz
5.4 Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume
5.5 Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen
5.6 Aufgaben
6 Hilberträume
6.1 Die Parsevalsche Gleichung
6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten
6.3 Aufgaben
7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen
7.1 Lineare Operatoren und Matrizen
7.2 Orthogonale Projektionen
7.3 Adjungierte Operatoren
7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren
7.5 Aufgaben
Teil III: Prinzipien der Funktionalanalysis
8 Konsequenzen der Vollständigkeit
8.1 Der Satz von Baire
8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit
8.3 Der Satz von der offenen Abbildung
8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen
8.5 Aufgaben
9 Stetige lineare Funktionale
9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach
9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren
9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume
9.4 Beispiele von Dualräumen
9.5 Stetige Projektionen
9.6 Aufgaben
10 Schwache Konvergenz
10.1 Variationsprobleme10.2 Trennung konvexer Mengen
10.3 Uniform konvexe Räume
10.4 Schwach konvergente Folgen
10.5 Schwach konvergente Teilfolgen
10.6 Aufgaben
Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren
11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen
11.1 Kompakte lineare Operatoren
11.2 Fredholmoperatoren
11.3 Stabilität des Index
11.4 Spektren kompakter Operatoren
11.5 Aufgaben
12 Spektralzerlegungen
12.1 Modelle kompakter Operatoren
12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren
12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren
12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen
12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren
12.6 Aufgaben
13 Unbeschränkte Operatoren
13.1 Abgeschlossene Operatoren
13.2 Adjungierte Operatoren
13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren
13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme
13.5 Evolutionsgleichungen
13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik
13.7 Aufgaben
A Anhang
A.1 Lineare Algebra
A.2 Metrische Räume und Kompaktheit
A.3 Maße und Integrale
A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale
A.3.2 Konvergenzsätze
A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen
A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli
A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz
Literaturverzeichnis Index
5.1 Der Satz von Fejér
5.2 Faltung und Dirac-Folgen
5.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz
5.4 Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume
5.5 Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen
5.6 Aufgaben
6 Hilberträume
6.1 Die Parsevalsche Gleichung
6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten
6.3 Aufgaben
7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen
7.1 Lineare Operatoren und Matrizen
7.2 Orthogonale Projektionen
7.3 Adjungierte Operatoren
7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren
7.5 Aufgaben
Teil III: Prinzipien der Funktionalanalysis
8 Konsequenzen der Vollständigkeit
8.1 Der Satz von Baire
8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit
8.3 Der Satz von der offenen Abbildung
8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen
8.5 Aufgaben
9 Stetige lineare Funktionale
9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach
9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren
9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume
9.4 Beispiele von Dualräumen
9.5 Stetige Projektionen
9.6 Aufgaben
10 Schwache Konvergenz
10.1 Variationsprobleme
10.2 Trennung konvexer Mengen
10.3 Uniform konvexe Räume
10.4 Schwach konvergente Folgen
10.5 Schwach konvergente Teilfolgen
10.6 Aufgaben
Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren
11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen
11.1 Kompakte lineare Operatoren
11.2 Fredholmoperatoren
11.3 Stabilität des Index
11.4 Spektren kompakter Operatoren
11.5 Aufgaben
12 Spektralzerlegungen
12.1 Modelle kompakter Operatoren
12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren
12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren
12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen
12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren
12.6 Aufgaben
13 Unbeschränkte Operatoren
13.1 Abgeschlossene Operatoren
13.2 Adjungierte Operatoren
13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren
13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme
13.5 Evolutionsgleichungen
13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik
13.7 Aufgaben
A Anhang
A.1 Lineare Algebra
A.2 Metrische Räume und Kompaktheit
A.3 Maße und Integrale
A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale
A.3.2 Konvergenzsätze
A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen
A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli
A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz
Literaturverzeichnis Index
6.1 Die Parsevalsche Gleichung
6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten
6.3 Aufgaben
7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen
7.1 Lineare Operatoren und Matrizen
7.2 Orthogonale Projektionen
7.3 Adjungierte Operatoren
7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren
7.5 Aufgaben
Teil III: Prinzipien der Funktionalanalysis
8 Konsequenzen der Vollständigkeit
8.1 Der Satz von Baire
8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit
8.3 Der Satz von der offenen Abbildung
8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen
8.5 Aufgaben
9 Stetige lineare Funktionale
9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach
9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren
9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume
9.4 Beispiele von Dualräumen
9.5 Stetige Projektionen
9.6 Aufgaben
10 Schwache Konvergenz
10.1 Variationsprobleme
10.2 Trennung konvexer Mengen
10.3 Uniform konvexe Räume
10.4 Schwach konvergente Folgen
10.5 Schwach konvergente Teilfolgen
10.6 Aufgaben
Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren
11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen
11.1 Kompakte lineare Operatoren
11.2 Fredholmoperatoren
11.3 Stabilität des Index
11.4 Spektren kompakter Operatoren
11.5 Aufgaben
12 Spektralzerlegungen
12.1 Modelle kompakter Operatoren
12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren
12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren
12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen
12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren
12.6 Aufgaben
13 Unbeschränkte Operatoren
13.1 Abgeschlossene Operatoren
13.2 Adjungierte Operatoren
13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren
13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme
13.5 Evolutionsgleichungen
13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik
13.7 Aufgaben
A Anhang
A.1 Lineare Algebra
A.2 Metrische Räume und Kompaktheit
A.3 Maße und Integrale
A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale
A.3.2 Konvergenzsätze
A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen
A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli
A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz
Literaturverzeichnis Index
8 Konsequenzen der Vollständigkeit
8.1 Der Satz von Baire
8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit
8.3 Der Satz von der offenen Abbildung
8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen
8.5 Aufgaben
9 Stetige lineare Funktionale
9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach
9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren
9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume
9.4 Beispiele von Dualräumen
9.5 Stetige Projektionen
9.6 Aufgaben
10 Schwache Konvergenz
10.1 Variationsprobleme
10.2 Trennung konvexer Mengen
10.3 Uniform konvexe Räume
10.4 Schwach konvergente Folgen
10.5 Schwach konvergente Teilfolgen
10.6 Aufgaben
Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren
11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen
11.1 Kompakte lineare Operatoren
11.2 Fredholmoperatoren
11.3 Stabilität des Index
11.4 Spektren kompakter Operatoren
11.5 Aufgaben
12 Spektralzerlegungen
12.1 Modelle kompakter Operatoren
12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren
12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren
12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen
12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren
12.6 Aufgaben
13 Unbeschränkte Operatoren
13.1 Abgeschlossene Operatoren
13.2 Adjungierte Operatoren
13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren
13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme
13.5 Evolutionsgleichungen
13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik
13.7 Aufgaben
A Anhang
A.1 Lineare Algebra
A.2 Metrische Räume und Kompaktheit
A.3 Maße und Integrale
A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale
A.3.2 Konvergenzsätze
A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen
A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli
A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz
Literaturverzeichnis Index
A.1 Lineare Algebra
A.2 Metrische Räume und Kompaktheit
A.3 Maße und Integrale
A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale
A.3.2 Konvergenzsätze
A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen
A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli
A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz
Literaturverzeichnis Index
IndexWinfried Kaballo lehrt als Professor an der Fakultät für Mathematik der TU Dortmund mit Schwerpunkt Analysis, insbesondere Funktionalanalysis.
Gut verständliche Einführung in die Funktionalanalysis, passend zu einer einsemestrigen Vorlesung
Mit vielen Erläuterungen und ausführlicher Darstellung von Zusammenhängen
Enthält sehr viele Aufgaben (mit Lösungen auf der Website zum Buch)
Die zweite Auflage ist von der didaktischen Darstellung weiter verbessert
Includes supplementary material: sn.pub/extras
Date de parution : 01-2018
Ouvrage de 398 p.
16.8x24 cm
Mots-clés :
Angewandte Funktionalanalysis; Banachräume; Fourierreihen; Hilberträume; Spektraltheorie
