Mathematische Modellierung, 1997
Eine Einführung in die Problematik

Im landläufigen Mathematikunterricht an Schulen und Hochschulen wird die Mathematik überwiegend als eine geistige Disziplin vermittelt, in der es um die Klarheit und Stringenz des Denkens geht. Systematik und formale Eleganz der Darstellung stehen im Vorder­ grund. Dabei wird aber ignoriert, daß die Mathematik nicht allein aus sich heraus lebt, sondern in andere Bereiche unserer Kultur eingebunden ist. Ohne allzusehr zu übertreiben, kann man sogar behaupten, daß sie ein integrativer Bestandteil unserer technologischen Welt ist und damit einen Einfluß ausübt, der weit über ihr Selbstverständnis hinausgeht. Mit der Sprache der Mathematik lassen sich auch nicht-mathematische Inhalte, zu­ mindest bis zu einem gewissen Grade ausdrücken. Man gelangt auf diese Weise oft zu Einsichten, die man ohne die Sprache der Mathematik nicht so klar und präzise aus­ drücken könnte. Man muß dabei allerdings auch beachten, daß mit der Umsetzung nicht­ mathematischer Sachverhalte in Mathematik eine starke Vereinfachung einhergeht als Preis für die mathematische Abstraktion. Diese Vereinfachung muß bei der Interpretation der durch Mathematik gewonnenen Einsichten berücksichtigt werden. Der Zweck dieses Buches besteht darin, die soeben skizzierte Rolle der Mathematik ins Bewußtsein der Mathematiker zu bringen. Danken möchte ich Frau A. Garhammer für das Schreiben dieses Buchtextes auf dem Computer und Herrn S. Bott für die Herstellung der Graphiken.

1 Problemstellung.- 1.1 Einleitende Betrachtungen.- 1.2 Die Mathematik als Sprache.- 1.3 Die Bewertung eines Modells.- 1.4 Weitere Kriterien für die Bewertung.- 2 Ein mathematisches Modell des Informationsbegriffes.- 2.1 Einführung.- 2.2 Der Begriff der Entropie.- 2.3 Ins Positive gewendete Unbestimmtheit.- 2.4 Versuch einer axiomatischen Informationstheorie.- 3 Entscheidungs- und Spielmodelle.- 3.1 Ein allgemeines Entscheidungsmodell.- 3.2 Ein axiomatischer Aufbau.- 3.3 Ein Gruppen-Entscheidungsmodell.- 3.4 Ein Zwei-Personen-Nullsummen-Spiel.- 3.5 Spiele mit unvollständiger Information.- 4 Wachstumsmodelle.- 4.1 Populationsmodelle.- 4.2 Wechselwirkendes Wachstuns.- 4.3 Das Problem der Diskretisierung.- 5 Zwei mathematische Modelle in der Medizin.- 5.1 Gesteuertes Wachstum von Krebszellen.- 5.2 Optimale Insulinsteuerung bei der Diabetes Mellitus.- 6 Konkurrenzmodelle.- 6.1 Das allgemeine Modell.- 6.2 Spezialfälle.- 6.3 Ein Modell mit drei Konkurrenten.- 7 Ein mathematisches Modell der Hämodialyse.- 7.1 Ein Ein-Kammer-Modell.- 7.2 Ein Zwei-Kammer-Modell.- 7.3 Berechnung periodischer Giftstoffkonzentrationen.- 7.4 Diskretisierung der Modellgleichungen.- 7.5 Numerische Resultate für Harnstoff.- 7.6 Giftstofferzeugungsrate und Nierenrestfunktion.- 8 Ein mathematisches Modell für Rüstung.- 8.1 Die Aufstellung des Modells.- 8.2 Fixpunktlösungen der Modellgleichungen.- 8.3 Kostensteuerung der Rüstungsdynamik.- 8.4 Kostensteuerung mit Hilfe linearer Optimierung.- 8.5 Ein spieltheoretischer Zugang.