Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker, Softcover reprint of the original 1st ed. 1979
Band 2: Eigenwertprobleme und numerische Methoden der Analysis

Der vorliegende zweite Band "Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker" soll wie der erste mit einer Auswahl von wichtigen numerischen Verfahren vertraut machen. Dabei werden nur solche Verfahren betrachtet, die für technische und phy­ sikalische Anwendungen von Bedeutung sind. Die zugehörigen theoretischen Unter­ suchungen werden nur so weit geführt, wie es für das Verständnis notwendig ist. Trotzdem hoffe ich, daß das Buch, das ebenso wie der bereits erschienene erste Band ein Lehr- und Nachschlagewerk sein will, auch manchen an den Anwendungen interessierten Mathematiker anspricht. Der Band enthält in fortlaufender Numerierung mit Band 1 vier Teile. In Teil IV wer­ den einige Verfahren zur numerischen Abschätzung und Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen beschrieben. Dabei ist, wie auch in anderen Teilen des Buches, eine Beschränkung auf nur wenige grundlegende und bewährte Methoden notwendig. Das Kapitel 10 enthält neben dem Jacobi- und dem LR-Verfahren auch Methoden zur Berechnung der Eigenwerte einer Hessenberg-Matrix. Vor allem im Hinblick auf die Berechnung der Eigenwerte großer Matrizen wird ferner ein Ver­ fahren zur Reduktion einer Matrix auf Hessenbergform beschrieben. Der Teil V ent­ hält Methoden zur Interpolation, Approximation und numerischen Integration von Funk­ tionen. Die klassische Interpolation und Approximation durch Polynome wird knapp dargestellt, da ihre Bedeutung für technische und physikalische Anwendungen nicht sehr weitreichend ist. In Kapitel 12 werden die Grundlagen der Spline-Interpolation für lineare und kubische Splines untersucht. Das Kapitel 13 enthält relativ ausführlich numerische Quadratur- und Kubatur-Verfahren, wobei auch kurz auf die Berechnung uneigentlicher Integrale eingegangen wird.

IV Eigenwertaufgaben bei Matrizen.- 9. Grundlagen, Abschätzungen, Vektoriteration.- 9.1 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 9.1.1 Das charakteristische Polynom.- 9.1.2 Eigenwerte spezieller Matrizenklassen.- 9.1.3 Eigenwerte komplexer Matrizen.- 9.2 Beispiele für das Auftreten von Eigenwertproblemen.- 9.2.1 Ein Schwingungsproblem.- 9.2.2 Ein Sturm-Liouville-Eigenwertproblem und das Differenzenverfahren.- 9.3 Abschätzungen von Eigenwerten.- 9.3.1 Die Lage der Eigenwerte.- 9.3.2 Eine Fehlerabschätzung bei hermiteschen Matrizen.- 9.4 Vektoriteration und inverse Iteration.- 9.4.1 Vektoriteration nach v. Mises.- 9.4.2 Inverse Iteration.- Aufgaben.- 10. Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten.- 10.1 Das Jacobi-Verfahren.- 10.1.1 Der Algorithmus.- 10.1.2 Konvergenz des Verfahrens.- 10.2 Das Verfahren von Givens.- 10.2.1 Die Verfahrensvorschrift.- 10.2.2 Eigenschaften des Verfahrens.- 10.3 Berechnung der Eigenwerte einer Hessenberg-Matrix.- 10.3.1 Berechnung des charakteristischen Polynoms.- 10.3.2 Berechnung der ersten Ableitung des charakteristischen Polynoms.- 10.3.3 Der Fall einer symmetrischen Matrix.- 10.4 Das LR-Verfahren.- 10.4.1 Der Algorithmus.- 10.4.2 Eigenschaften des Algorithmus.- 10.5 FORTRAN-Unterprogramme.- 10.5.1 Das Jacobi-Verfahren.- 10.5.2 Das Verfahren von Givens.- Aufgaben.- V Interpolation, Approximation und numerische Integration.- 11. Interpolation und Approximation.- 11.1 Interpolation durch Polynome.- 11.1.1 Das Lagrangesche Interpolationspolynom.- 11.1.2 Das Restglied bei der Lagrange-Interpolation.- 11.1.3 Das Newtonsche Interpolationspolynom.- 11.2 Gleichabständige Stützwerte. Interpolation in zwei Variablen.- 11.2.1 Das Newtonsche Interpolationspolynom.- 11.2.2 Darstellung des Fehlers.- 11.2.3 Interpolation bei Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen.- 11.3 Hermite-Interpolation.- 11.3.1 Eine spezielle Interpolationsaufgabe.- 11.3.2 Das allgemeine Hermitesche Interpolationspolynom.- 11.4 Approximation durch Polynome.- 11.4.1 Das allgemeine Approximationsproblem.- 11.4.2 Die Polynomapproximation.- 11.5 Approximation durch allgemeinere Funktionen.- 11.5.1 Approximation durch eine Linearkombination von Funktionen.- 11.5.2 Approximation durch eine Linearkombination von Orthogonalfunktionen.- 11.6 Approximation mit Orthogonalpolynomen.- 11.6.1 Approximationsgenauigkeit.- 11.6.2 Das E. Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren.- 11.6.3 Legendresche Polynome.- 11.6.4 Orthogonalpolynome bezüglich einer Gewichtsfunktion.- 11.7 Trigonometrische Approximation.- 11.8 Approximation empirischer Funktionen.- 11.8.1 Die Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme.- 11.8.2 Approximation durch Polynome.- 11.8.3 Approximation periodischer Funktionen.- Aufgaben.- 12. Spline-Interpolation.- 12.1 Interpolation durch stückweise lineare Funktionen.- 12.1.1 Die Konstruktion des Polygonzuges.- 12.1.2 Darstellung mit Hilfe von Basisfunktionen.- 12.2 Definition der kubischen Splines.- 12.2.1 Eigenschaften der Spline-Funktion.- 12.2.2 Die mathematische Definition des Splines.- 12.3 Der kubische Interpolationsspline.- 12.3.1 Berechnung des Splines.- 12.3.2 Der Algorithmus.- 12.4 Fehlerbetrachtungen.- 12.5 FORTRAN-Programm.- 12.6 Beispiel.- Aufgaben.- 13. Numerische Integration.- 13.1 Quadraturformeln vom Newton-Cotes-Typ.- 13.1.1 Interpolations-Quadraturformeln.- 13.1.2 Die Newton-Cotes-Formeln.- 13.2 Summierte Quadraturformeln.- 13.2.1 Das Verfahren.- 13.2.2 Das Restglied summierter Quadraturformeln.- 13.3 Romberg-Integration.- 13.3.1 Das Prinzip.- 13.3.2 Der Algorithmus.- 13.3.3 Der Fehler bei der Romberg-Integration.- 13.4 Das Gaußsche Quadraturverfahren.- 13.4.1 Eine Optimalitätsforderung.- 13.4.2 Berechnung der Stützstellen und Gewichte.- 13.4.3 Ergänzungen.- 13.5 Numerische Kubatur.- 13.5.1 Interpolations-Kubaturformeln.- 13.5.2 Ein einfaches summiertes Kubaturverfahren.- 13.6 Ergänzungen.- 13.6.1 Numerische Berechnung uneigentlicher Integrale.- 13.6.2 Numerische Berechnung von Integralen mit Singularitäten.- 13.7 FORTRAN-Unterprogramm.- Aufgaben.- VI Numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.- 14. Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 14.1 Einfache Einschritt-Verfahren.- 14.1.1 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 14.1.2 Explizite Einschritt-Verfahren.- 14.1.3 Das Polygonzugverfahren.- 14.1.4 Verbesserte Polygonzugverfahren.- 14.2 Runge-Kutta-Verfahren.- 14.2.1 Verfahren von Heun.- 14.2.2 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren.- 14.2.3 Runge-Kutta-Verfahren für Systeme von Differentialgleichungen.- 14.3 Konsistenz und Konvergenz.- 14.3.1 Konsistente Verfahren.- 14.3.2 Die Konsistenzordnung einiger Einschritt-Verfahren.- 14.3.3 Ein Satz über die Konvergenzordnung.- 14.3.4 Systeme von Differentialgleichungen.- 14.4 Fehlerbetrachtungen. Ergänzungen.- 14.4.1 Rundungsfehler.- 14.4.2 Fehlerabschätzungen.- 14.5 FORTRAN-Unterprogramm.- 14.6 Beispiel.- Aufgaben.- 15. Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 15.1 Problemstellung. Einige Ergebnisse der Theorie.- 15.1.1 Definition des allgemeinen Randwertproblems.- 15.1.2 Selbstadjungierte Differentialgleichungen.- 15.1.3 Randwertprobleme bei Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 15.1.4 Randbedingungen beim Problem der Balkenbiegung.- 15.2 Differenzenverfahren.- 15.2.1 Lineare Randwertprobleme 2. Ordnung.- 15.2.2 Nichtlineare Randwertprobleme 2. Ordnung.- 15.2.3 Konvergenz des Differenzenverfahrens.- 15.3 Variationsmethoden und Ritzsches Verfahren.- 15.3.1 Randwertproblem und Variationsproblem.- 15.3.2 Das Ritzsche Verfahren.- 15.3.3 Zur praktischen Durchführung des Ritzschen Verfahrens.- 15.4 Die Methode der finiten Elemente.- 15.4.1 Stückweise lineare Ansatzfunktionen.- 15.4.2 Kubische Splines als Ansatzfunktionen.- 15.4.3 Fehlerordnung. Ergänzungen.- 15.5 Differenzenverfahren zur Lösung einfacher Eigenwertprobleme.- 15.5.1 Das Eigenwertproblem.- 15.5.2 Das Differenzenverfahren.- Aufgaben.- VII Numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen.- 16. Differenzenverfahren zur numerischen Lösung von Anfangs- und Anfangs-Randwertproblemen bei hyperbolischen und parabolischen Differentialgleichungen.- 16.1 Klassifizierung. Charakteristiken.- 16.1.1 Lineare, halblineare und quasilineare Gleichungen zweiter Ordnung.- 16.1.2 Typeneinteilung.- 16.1.3 Charakteristiken.- 16.2 Lineare und halblineare hyperbolische Anfangs wertprobleme zweiter Ordnung.- 16.2.1 Normalform und Anfangs wertproblem.- 16.2.2 Das Differenzenverfahren.- 16.3 Explizite Differenzenverfahren für lineare parabolische Anfangs-Randwertprobleme zweiter Ordnung.- 16.3.1 Problemstellung.- 16.3.2 Ein explizites Einschritt-Differenzenverfahren.- 16.3.3 Konvergenz des Verfahrens.- 16.4 Implizite Differenzenverfahren für lineare parabolische Anfangs-Randwertprobleme zweiter Ordnung.- 16.4.1 Konstruktion der Verfahren.- 16.4.2 Konvergenz der Verfahren.- 16.4.3 Nichtlineare Probleme.- Aufgaben.- 17. Hyperbolische Systeme 1. Ordnung.- 17.1 Einige Grundlagen der Theorie.- 17.1.1 Klassifizierung.- 17.1.2 Normalform.- 17.1.3 Charakteristiken.- 17.1.4 Das Anfangs wertproblem.- 17.1.5 Beispiele hyperbolischer Systeme 1. Ordnung in der Strömungsmechanik.- 17.2 Charakteristikenverfahren.- 17.2.1 Das Prinzip.- 17.2.2 Der lineare Fall.- 17.2.3 Der allgemeine quasilineare Fall.- 17.3 Differenzenverfahren in Rechteckgittern.- 17.3.1 Das Anfangswertproblem.- 17.3.2 Das Differenzenverfahren.- 17.3.3 Zwei spezielle Verfahren.- 17.3.4 Konvergenz der Differenzenverfahren.- Aufgaben.- 18. Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 18.1 Elliptische Randwertprobleme.- 18.1.1 Formulierung der Randwertprobleme.- 18.1.2 Randwertprobleme und Variationsprobleme.- 18.1.3 Allgemeinere Variationsprobleme und Randwertprobleme.- 18.2 Differenzenverfahren.- 18.2.1 Das Modellproblem.- 18.2.2 Konvergenz des Differenzenverfahrens.- 18.2.3 Krummlinig berandete Gebiete.- 18.2.4 Variationsprobleme und nichtlineare Randwertaufgaben.- 18.3 Das Ritzsche Verfahren und die Methode der finiten Elemente.- 18.3.1 Das Ritzsche Verfahren.- 18.3.2 Die einfachste Methode der finiten Elemente.- 18.3.3 Die Methode der finiten Elemente bei nichtlinearen Problemen.- 18.3.4 Ergänzungen.- Aufgaben.- Literatur.