1 Description of fluids 5
1.1 Euler and Lagrange picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Lagrange derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Divergence-free vector field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Fluid boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Phase space fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Moving fluid line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Internal fluid stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 Fluid equations from kinetic theory . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.10 Streamlines and Pathlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.11 Vortex line, vortex tube and line vortex . . . . . . . . . . . . . 33
1.12 Vortex sheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.13 Vector gradient in cylindrical coordinates . . . . . . . . . . . . 39
1.14 Vector gradient in orthogonal coordinates . . . . . . . . . . . . 41
1.15 Vorticity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.16 Velocity from vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.17 Bernoulli equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.18 Euler-Lagrange equation for fluids . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.19 Water waves from Euler-Lagrange equations . . . . . . . . . . 58
1.20 Stretching in an isotropic random velocity field . . . . . . . . 63
1.21 Converse Poincaré lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 Flows in the complex plane 79
2.1 Laplace equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2 Green’s theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3 Dirichlet and Neumann boundary conditions . . . . . . . . . . 82
2.4 Mean value and maximum property . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5 Logarithmic potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6 Dirichlet’s principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.7 Streamfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.8 Vorticity on a sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.9 Complex speed and potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.10 Analytic functions, conformal transformation . . . . . . . . . 98
2.11 Schwarz-Christoffel theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.12 Mapping of semi-infinite and infinite strips . . . . . . . . . . . 106
2.13 Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3 Vortices, corner flow and flow past plates 117
3.1 Straight vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2 Corner flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3 Corner flow with viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4 Flow past a flat plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5 Blasius and Kutta-Jukowski theorems . . . . . . . . . . . . . . 132
3.6 Plane flow past a cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.7 Kármán vortex street . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.8 Corner eddy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.9 Angular momentum transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4 Jets, wakes and cavities 163
4.1 Free streamlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.2 Flow past a step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3 Complex potential and speed plane . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.4 Outflow from an orifice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.5 A simple wake model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.6 Riabouchinsky cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.7 Levi-Civita method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.8 Kolscher’s cusped cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.9 Re-entrant jet cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.10 Tilted wedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.11 Weinstein theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5 Kelvin-Helmholtz instability 211
5.1 Kelvin-Helmholtz circulation theorem . . . . . . . . . . . . . . 211
5.2 Bjerknes circulation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.3 Kelvin-Helmholtz instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.4 Vortex chain perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.5 Vortex accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.6 Linear stability analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.7 Birkhoff-Rott equation for vortex sheets . . . . . . . . . . . . . 235
5.8 Curvature singularity in evolving vortex sheet . . . . . . . . . 239
5.9 Subsequent work on Moore’s singularity . . . . . . . . . . . . 254
5.10 Nonlinear stages of K-H instability . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.11 Why do large eddies occur in fast flows? . . . . . . . . . . . . . 259
5.12 Atmospheric instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.13 Rayleigh inflexion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.14 Kinematics of vortex rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.15 Curvature and torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.16 Helical line vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.17 Knotted and linked vortex rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
5.18 Clebsch coordinates and knottedness . . . . . . . . . . . . . . . 278
6 Kinematics of waves 279
6.1 Wave basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.2 Group speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.3 Kinematic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.4 The wavefront . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.5 Waves and instability from a radiative force . . . . . . . . . . 289
7 Shallow water waves 299
7.1 Continuity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.2 Euler equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.3 Wave equation for linear water waves . . . . . . . . . . . . . . 304
7.4 Tides in canals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
7.5 Cotidal lines and amphidromic points . . . . . . . . . . . . . . 312
7.6 Waves of finite amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.7 Nonlinear tides in an estuary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
7.8 Similarity solution: dam break . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
7.9 Non-breaking waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
7.10 Bores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7.11 Poincaré and Kelvin waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7.12 Wave behind a barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
8 Free surface waves 373
8.1 Dispersion relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
8.2 Sudden impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.3 Refraction and breaking at a coast . . . . . . . . . . . . . . . . 383
8.4 Waves in a non-uniform stream . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
8.5 Stokes wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
8.6 Stokes singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
8.7 Crapper wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
9 Existence proof for weakly nonlinear water waves 427
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
9.2 Boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
9.3 Linear integral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
9.4 Schmidt’s nonlinear integral equation . . . . . . . . . . . . . . 441
9.5 General nonlinear integral equations . . . . . . . . . . . . . . 447
9.6 Integral equations for nonlinear waves . . . . . . . . . . . . . 449
10 Sound and internal gravity waves 463
10.1 Wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
10.2 Acoustic cutoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
10.3 Schwarzschild criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
10.4 Gravo-acoustic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
11 Supersonic flow and shocks 479
11.1 Shock kinematics and entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
11.2 Jump conditions at shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
11.3 Shock speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
11.4 Shock entropy and supersonic inflow . . . . . . . . . . . . . . . 492
11.5 Laval nozzle and solar wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
11.6 Supersonic spots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
11.7 Solar wind exhibiting a shock pair . . . . . . . . . . . . . . . . 509
11.8 Riemann sheets for the Burgers equation . . . . . . . . . . . . 514
11.9 Characteristics for first-order equations . . . . . . . . . . . . . 520
11.10Characteristics for second-order equations . . . . . . . . . . . 527
11.11Derivatives on characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
11.12Simple waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
A Analytic and meromorphic functions 541